5.11 Aquest sembla fàcil. $\vdash P\vee\neg P$

A veure si $\vdash P\vee\neg P$ és tan obvi com diuen:

$$\begin{fitch} \par \fh \neg (P \vee \neg P) & H \\ \par \fa ... ...\ 1,5,10 \\ \par P \vee \neg P & E$\neg$\ 11 \par \end{fitch}$$

Un dels més simples i llargs que he trobat. Sembla fins i tot que no faci falta demostrar-ho, perquè tothom sap que entre ``avui és dijous'' i ``avui no és dijous'', una de les dues és certa (no poden ser falses totes dues alhora).

Podríem començar pensant en el mètode de prova per casos, perquè de $P$ podem deduir $P\vee\neg P$, i de $\neg P$ podem deduir $P\vee\neg P$, o sigui, la mateixa fórmula. Però no serveix de res, perquè la regla de prova per casos és la d'eliminació de la disjunció, i no tenim cap disjunció per eliminar; de fet, tampoc tenim la fórmula certa $A\vee B$ tal que $A\Rightarrow C$ i $B\Rightarrow C$, com demana la regla. En realitat, no tenim cap fórmula que sapiguem que sigui certa (el costat esquerre del seqüent està buit).

Sabem que s'ha de començar amb una hipòtesi (no hi ha altra alternativa). Com sembla bastant clar que $P\vee\neg P$ és cert, també pot semblar fàcil demostrar que el seu contrari, $\neg(P\vee\neg P)$, és fals. Així que usarem la reducció a l'absurd: fent aquesta suposició a la línia 1, hem d'intentar arribar a una contradicció, la que sigui.

Jo em vaig proposar arribar a la contradicció $\neg P$ i $P$. Però no tenim cap d'aquestes dues fórmules; d'on les traiem? Doncs tornem a fer reducció a l'absurd: per veure que $\neg P$, anem a suposar que $P$ per arribar a una contradicció. Igual que en altres ocasions, va molt bé aprofitar les possibilitats que ofereix la introducció de la disjunció: en suposar que $P$, podrem convertir-lo en $P\vee\neg P$ per buscar la contradicció. Com tenim el $\neg(P\vee\neg P)$ dalt de tot, el podem usar per acabar demostrant que $\neg P$. El mateix farem per demostrar que $P$, però aquest cop suposant $\neg P$.

Quan ja hem arribat a tenir $P$ i $\neg P$ després de suposar $\neg(P\vee\neg P)$, es veu que aquesta fórmula no pot ser certa, així que la seva negació, $\neg\neg(P\vee\neg P)$, ho és. Per eliminació de la negació, ens queda la fórmula que buscàvem: $P\vee\neg P$.

Ho he fet d'aquesta manera per a que quedés bastant simètric, però es pot fer més curt si es busca altra contradicció, per exemple $P\vee\neg P$ i $\neg(P\vee\neg P)$. Llavors quedaria així:

$$\begin{fitch} \par \fh \neg (P \vee \neg P) & H \\ \par \fa ... ...g$\ 1,6,7 \\ \par P \vee \neg P & E$\neg$\ 8 \par \end{fitch}$$