5.12 Un d'interessant. $P\vee Q,\ \neg P\vdash Q$

Un altre que sembla fàcil: $P\vee Q,\ \neg P\vdash Q$. A veure:

$$\begin{fitch} \par P \vee Q \\ \par \neg P \\ \par \fh P & ... ...par \fa Q & IT 9 \\ \par Q & E$\vee$\ 1,8,10 \par \end{fitch}$$

És molt senzill d'entendre per qualsevol: es compleix $P\vee Q$, però $P$ és fals, per tant el cert és $Q$.

Es pot fer de moltes formes, però en algun moment hauràs de fer servir l'eliminació de la disjunció per tal d'usar el $P\vee Q$. Intentarem provar que tant $P$ com $Q$ porten al mateix lloc, que serà la nostra fórmula objectiu $Q$ (ja que es pot, anem directament a per $Q$).

Obrim la subdemostració suposant que $P$, i hem de veure que $Q$. No és molt difícil perquè tenim el $\neg P$ a la línia 2; això ajuda a contradir tot allò que vulguem. Com el que busquem és $Q$, suposem $\neg Q$ i per reducció a l'absurd obtenim $\neg\neg Q$, que és $Q$.

L'altre camí, quan es suposa que $Q$ és cert, ens porta directament a $Q$.

Per tant, ambdós camins van a $Q$ i per eliminació de la disjunció demostrem que $Q$ és cert sempre.