5.7 Un de prova per casos. $P\vee(Q\wedge R)\vdash P\vee Q$

S'haurà d'usar la regla més complicada: l'eliminació de la disjunció. $P\vee(Q\wedge R)\vdash P\vee Q$ solucionat:

$$\begin{fitch} \par P \vee (Q \wedge R) \\ \par \fh P & H \\ ... ...I$\vee$\ 5 \\ \par P \vee Q & E$\vee$\ 1,3,6 \par \end{fitch}$$

Ja coneixes les regles, així que explico la forma de pensar d'un humà que no entengui de deducció natural però que pensi una mica:

Necessitem comprovar que $P\vee Q$ és cert sempre. L'expressió de l'esquerra, $P\vee(Q\wedge R)$, es pot complir per dos motius:

• si es compleix perquè $P$ és cert, llavors $P\vee Q$ és cert.
• si es compleix perquè $Q\wedge R$ és cert, és que $Q$ i $R$ són certes, i per tant $P\vee Q$ és cert gràcies a $Q$.

O sigui, que de qualsevol de les maneres, $P\vee Q$ és cert.

Doncs ara l'únic que queda és traduir a llenguatge lògic, seguint el mateix ordre en què s'ha pensat, i anant a poc a poc.

Es comença demostrant un camí, després l'altre, i per últim s'aplica la regla d'eliminació de la disjunció. Per justificar-la s'ha d'escriure la línia on està la disjunció, i les dues línies de dins de cada subdemostració on es vegi que tant en suposar una cosa com en suposar l'altra, el resultat és el mateix.

Fixa't que, encara que esbrinem que $P\Rightarrow P\vee Q$ i que $Q\wedge R\Rightarrow P\vee Q$, no fa falta usar la introducció de la implicació per deixar-ho escrit.

El més complicat de la prova per casos sol ser decidir quina expressió demostraràs en ambdós casos. Ha de ser la mateixa als dos casos!