5.6 Amb subdemostracions. $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)\vdash Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$

Es compliquen les coses. La solució de $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)\vdash Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow (Q \Rightarrow R) \\ \par \... ...arrow (P \Rightarrow R) & I$\Rightarrow$\ 2,6 \par \end{fitch}$$

Primerament: aquí només usarem les dues regles que ajuden a afegir i treure implicacions, perquè és l'únic operador que tenim.

Com que volem arribar a $Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$, haurem de fer una hipòtesi $Q$ dins la qual s'ha de demostrar $P\Rightarrow R$. Doncs fem això ara per simplificar el problema: obrim la subdemostració a la línia 2. No la tancarem fins que no s'arribi a saber que $P\Rightarrow R$ és cert.

Ara el problema és una mica més fàcil. Necessitem comprovar que $P\Rightarrow R$, i tenim dues línies amb dues veritats: la primera diu que $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$, i la segona diu que $Q$.

Com podem aconseguir el $P\Rightarrow R$? Doncs com sempre: s'ha de suposar que $P$, i aconseguir veure que $R$, d'alguna manera. Encara que no sembli molt fàcil, és el que s'ha de fer, perquè la introducció de la implicació va així. Per tant, anem a obrir una altra hipòtesi, ara suposant que $P$, i anem a veure si arribem a $R$. Aquesta serà una hipòtesi dins d'una hipòtesi, però no hi ha cap problema en fer això.

Després d'escriure la línia 3, i, ficats a dins d'una subsubdemostració, tenim al nostre abast que $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$, que $Q$, i que $P$. Hem de provar que $R$. Ja no sembla tan difícil, no? Si sabem que $P$, podem usar l'eliminació de la implicació amb la línia 1, i així aconseguirem la fórmula certa $Q\Rightarrow R$. Com també és cert $Q$ (línia 2), podem tornar a usar la mateixa regla per saber que $R$.

Hem vist que el suposar $P$ ens ha portat a la conclusió de que $R$, així que podem deixar escrit que $P\Rightarrow R$, que és allò que anàvem buscant. Ara ja hem sortit de la subsubdemostració, i només estem dins la suposició que $Q$ és cert. Com veiem que aquesta suposició implica la certesa de la fórmula $P\Rightarrow R$, podem sortir d'aquesta subdemostració concloent que $Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$.

$Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$ és precisament el que s'havia de demostrar, per tant ja s'ha acabat.