5.5 Reducció a l'absurd. $P\Rightarrow Q,\ \neg Q\vdash\neg P$

Aquesta és una tècnica molt útil. La validesa de $P\Rightarrow Q,\ \neg Q\vdash\neg P$ es demostra amb:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow Q \\ \par \neg Q \\ \par \... ...neg Q & IT 2 \\ \par \neg P & I$\neg$\ 3,4,5 \par \end{fitch}$$

A on s'ha d'arribar és a $\neg P$, que és la negació d'alguna cosa, per això s'haurà d'utilitzar la regla de introducció de la negació, coneguda per reducció a l'absurd.

La forma de fer-ho serà suposar el contrari de $\neg P$ (que és $P$) i arribar a una contradicció. En suposar $P$ arribarem a $Q$ (per eliminació de la implicació), i com que també tenim $\neg Q$, podem aplicar la regla. Aquest $\neg Q$ l'haurem de repetir a dintre la subdemostració amb la regla d'iteració, per a que estigui junt amb la $Q$ però també dins de la subdemostració. Tot el que hi ha a dins de la subdemostració és conseqüència de $P$, així que és important veure que tant $Q$ com $\neg Q$ ho són.

Per a la introducció de la negació, la forma de justificar la regla és posant el número de línia on comença la suposició (errònia), i els números de les dues línies on hem vist la contradicció. La conclusió d'aquesta regla és el contrari d'allò que s'havia suposat, en aquest cas $\neg P$, per tant ja podem acabar el procediment.

Aquest raonament normalment el fem sense pensar-hi gaire. En paraules seria semblant a: ``és clar que $\neg P$, perquè si fos $P$ llavors $Q$, i em diuen que $\neg Q$, així que no pot ser $P$''.