5.3 Empezando a suponer cosas. $P\Rightarrow Q,\ Q\Rightarrow R\vdash P\Rightarrow Q\wedge R$

Éste, $P\Rightarrow Q,\ Q\Rightarrow R\vdash P\Rightarrow Q\wedge R$, es más interesante:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow Q \\ \par Q \Rightarrow R \... ... \Rightarrow Q \wedge R & I$\Rightarrow$\ 3,6 \par \end{fitch}$$

Fíjate en los siguientes detalles:

• No nos dan ninguna información sobre qué pasa ahora (ni han dado la fórmula $P$, ni $Q\wedge R$, etc.). Sólo nos dicen cosas como que si pasara $P$, entonces también pasaría $Q$.
• De la misma forma, lo que hay que demostrar no es que ahora mismo pasa algo, sino que si pasara $P$, entonces $Q$ y $R$ son ciertas.
• $P\Rightarrow Q\wedge R$ es una implicación (algo implica algo), porque el operador $\Rightarrow$ tiene menos prioridad que el $\wedge$. Es un error grave interpretar esa fórmula como $(P\Rightarrow Q)\wedge R$.

Como la fórmula que queremos es una implicación ( $P\Rightarrow Q\wedge R$), tendremos que usar la introducción de la implicación, pero esta regla requiere tener una subdemostración (consulta su definición).

No es muy complicado entender por qué: $P\Rightarrow Q\wedge R$ dice que si pasa $P$, entonces pasa $Q\wedge R$, así que lo primero que habrá que hacer será suponer que sí que pasa $P$. Entonces tendremos que sacar que, en ese caso en el que $P$ es cierto, también lo es $Q\wedge R$. Cuando lo consigamos, aplicamos la regla, y lo dejamos bien escrito: $P\Rightarrow Q\wedge R$.

Por eso en la línea 3 se hace una hipótesis (justificada con la $H$ a la derecha): supongamos que $P$ es cierto. Ahora empezamos una subdemostración, en donde podemos usar las verdades que hay escritas en la demostración padre (líneas 1 y 2 en este caso), y también podemos usar $P$ como si fuera verdad.

Hemos hecho esta hipótesis con el objetivo de saber que $Q\wedge R$, así que lo deducimos igual que en los ejemplos anteriores. Fíjate en que usamos verdades de dentro y de fuera de la subdemostración, y que, mientras no la acabemos, hay que poner esa raya vertical a la izquierda.

En la línea 6 ya tenemos que $Q\wedge R$, que es lo que queríamos. Usando la regla de introducción de la implicación, podemos salir de esta subdemostración diciendo que si la hipótesis es cierta, entonces lo que hemos deducido a partir de ella también. Se deja de poner la rayita vertical, porque $P\Rightarrow Q\wedge R$ es cierto siempre (no depende de si $P$ es verdad o no). La justificación usada, $I\Rightarrow\ 3,6$, dice que 3 es la línea donde hemos hecho la suposición, y 6 la línea en la que hemos descubierto algo interesante que pasa al hacer esa suposición.

$P\Rightarrow Q\wedge R$ es lo que queríamos, así que ya hemos acabado. Acabamos de la misma forma que siempre, porque estamos fuera de la subdemostración.