5.14 Iu ``mallonga''. $A\Longleftrightarrow B\vdash(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)$

Ŝajnas facila: se du esprimoj estas ekvivalentaj, tio estas ĉar ambaŭ certas, aŭ ambaŭ falsas. Mi sukcesis pruvi la validecon de $A\Longleftrightarrow B\vdash(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)$ tiel:

$$\begin{fitch} \par (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)... ...e (\neg A \wedge \neg B) & E$\vee$\ 10,15,23 \par \end{fitch}$$

Unue: oni ne metu $A\Longleftrightarrow B$ ĉar ne havas derivregulojn por la $\Longleftrightarrow$. Sed ĝi estas malplej uzata, do kiam $\Longleftrightarrow$ aperas, oni rajtas ŝanĝi ĝin per $(A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow A)$, kiu estas la samo.

Nu, tio estas la sola ideo mi ekpensis... Mi lasas al vi ekzercon serĉi pli mallongan formon (se ĝi ekzistas). Kion mi faris estas restigi skribe ke $A\vee\neg A$ ĉiam certas (tiu ekzerco jam aperis, jen mi ripetis la samajn paŝojn). Jam konante $A\vee\neg A$, mi pruvas ke tiel okazo $A$ kiel okazo $\neg A$ alportas al la sama formulo, kiu estas la solvo.