5.3 Jam supozante aĵojn. $P\Rightarrow Q,\ Q\Rightarrow R\vdash P\Rightarrow Q\wedge R$

Ĉi tiu, $P\Rightarrow Q,\ Q\Rightarrow R\vdash P\Rightarrow Q\wedge R$, estas pli interesa:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow Q \\ \par Q \Rightarrow R \... ... \Rightarrow Q \wedge R & I$\Rightarrow$\ 3,6 \par \end{fitch}$$

Notu la jenajn detalojn:

• Ni havas nenian informon pri io ajn kio certas nun (ni mankas formulojn kiajn $P$, aŭ $Q\wedge R$, ktp.). Oni nur aldiras al ni ideojn kiajn ke se okazus $P$, tiam ankaŭ okazus $Q$.
• Simile, kio ni devas pruvi ne estas ke ĵus nun io okazas, sed ke se okazus $P$, tiam $Q$ kaj $R$ estus certaj.
• $P\Rightarrow Q\wedge R$ estas implikacio (io entenas ion), ĉar operatoro $\Rightarrow$ havas malpli prioritaton ol $\wedge$. Estas grava eraro interpreti tiun formulon kvazaŭ $(P\Rightarrow Q)\wedge R$.

Ĉar la formulon ni serĉas estas implikacio ( $P\Rightarrow Q\wedge R$), ni devos uzi la kunimplikaciigon, sed tiu regulo necesas subderivon (vidu ĝian difinon).

Kompreni kial, ne estas malfacile: $P\Rightarrow Q\wedge R$ diras ke se $P$ okazas, tiam okazas $Q\wedge R$, do unue oni devos supozi ke ja okazas $P$. Tiam oni klopodu ke, ĉe la okazo kiam $P$ certas, ankaŭ certas $Q\wedge R$. Tion atingite, oni aplikas la regulon por restigi ĉion bone skribite: $P\Rightarrow Q\wedge R$.

Tial, ĉe linio 3 oni faras hipotezon (klarigita per la dekstra $H$): supozu ke $P$ certas. Nun komencas subderivon, ĉe kie oni povas uzi ĉiun veraĵon el la patra derivo (linioj 1 kaj 2 ĉe tiu okazo), kaj ankaŭ povas uzi $P$ kvazaŭ ĝi estus certa.

Oni faris tiun hipotezon celante scii ke $Q\wedge R$, do oni deduktas ĝin simile al la antaŭaj ekzemploj. Notu la uzadon de veraĵojn el ene kaj ekstere de la subderivo, kaj ankaŭ ke, ĝis fino de la subderivo, tiu vertikala maldekstra linio devas esti metita.

Ĉe linio 6 oni jam havas $Q\wedge R$, kion ni volis. Uzante la derivregulon de kunimplikaciigo, oni eliras el tiu subderivo, asertante ke se la hipotezo estas certa, tiam ankaŭ certas io kion ni deduktis el ĝi. Oni malmetas la vertikalan linion, ĉar $P\Rightarrow Q\wedge R$ estas ĉiam certa (sendepende je ĉu $P$ estas vera aŭ ne). La uzata klarigo, $I\Rightarrow\ 3,6$, diras ke estas linio 3 kie oni faris la supozon, kaj 6 la linio kie oni divenis ion interesan kio okazas farinte tiun supozon.

$P\Rightarrow Q\wedge R$ estas kion ni serĉis, do oni jam finis. La fino estas same kiel antaŭe, ĉar oni ja estas ekstere de subderivo.