4.8 Introducció de la negació

Aquesta és molt maca i interessant:

$$\begin{fitch*} \par m & \fh A & H \\ \par n & \fa B \\ \par... ... \par \hline \par & \neg A & I$\neg$\ m,n,p \par \end{fitch*}$$

Si en suposar que $A$, has arribat a la conclusió que són certes $B$ i $\neg B$ a la vegada, no estàs perdut, ja que acabes de descobrir una altra veritat: que no és possible que $A$ sigui cert, per tant, que $\neg A$ és cert.

Per exemple, confesso que si uso Windows, no aprofito el temps que estic amb l'ordinador. Des de fa anys sí que l'aprofito, per tant la conclusió és que no uso Windows. Per arribar a aquesta conclusió, el camí que hauries seguit (potser sense pensar-hi) és precisament el que demana aquesta regla: suposem que sí que utilitzo Windows, en aquest cas no aprofitaria el meu ordinador. Però dic que sí que ho aprofito, així que la suposició ha de ser equivocada.

A aquest procediment se l'anomena reducció a l'absurd (reductio ad absurdum): suposar quelcom per arribar a una contradicció i poder afirmar que allò suposat és fals. Va molt bé si comences suposant allò contrari al que vols demostrar: si arribes a una contradicció, ja està gairebé tot fet.

He d'avisar de que aquest és un abús de notació: resulta que per a que quadrin els teoremes de la lògica, tota subdemostració ha de tenir una conclusió (no dues); i en aquesta hipòtesi que surt a la regla de dalt, no queda clar quina és la conclusió (si $B$ o $\neg B$). La forma correcta d'escriure-ho seria usar la introducció de la conjunció per dir que $B\wedge\neg B$, i aquesta és la conclusió que ens fa veure que la hipòtesi inicial era errònia. Però els meus professors s'estalviaven aquesta línia.