4.7 Eliminació de la disjunció

Aquesta és la regla més complicada, precisament perquè si ens donen una frase amb o, tal com ``avui és dijous o divendres'', què podem treure d'aquí? Que avui és dijous? No, podria ser divendres. Que avui és divendres? No, podria ser dijous. Que avui és dijous o divendres? Bé, és clar, però això ja ho sabíem...

La regla (ara l'explico):

$$\begin{fitch*} \par m & A \vee B \\ \par & \fh A & H \\ \pa... ... C \\ \par \hline \par & C & E$\vee$\ m,n,p \par \end{fitch*}$$

Necessitem més informació apart d'un $A\vee B$. Si, per casualitat, sabem que $A\Rightarrow C$, i que també $B\Rightarrow C$, aleshores sí que podem saber què passa quan $A\vee B$: tant una opció com l'altra ens porten a $C$, per tant $C$ és certa.

Aquest tipus de coses només passen quan l'exercici està preparat per a què hi apareixi una eliminació de la disjunció, o quan $A$ i $B$ s'assemblen molt (llavors trobarem una $C$ tal que totes dues l'impliquin).

Un exemple: quan vaig contractar l'accés a Internet per ADSL, va ser amb Telefónica o Terra, però no sé exactament amb qui (ni tan sols ells ho sabien). Qualsevol opció era lenta, caríssima, i plena de problemes (a tot això li diré $M$), per tant qualsevol companyia era una $M$. En concret, sabem que $Telefonica\Rightarrow M$, i que $Terra\Rightarrow M$, així que no hi ha dubtes sobre la qualitat de la meva connexió ADSL: també era una $M$, tant si la tenia amb una companyia com amb l'altra. I a més em va costar 9 mesos completar l'alta... sort que aquestes coses van passar ja fa molts anys.

A aquesta regla l'anomenen prova per casos, perquè s'ha de comprovar cada possible cas per veure que tots porten a la mateixa conclusió.