8.4 Cómo demostrar la invalidez

La deducción natural da un procedimiento para demostrar que un razonamiento es correcto, pero ¿cómo se demuestra que un razonamiento es erróneo? No se puede hacer con deducción natural.

Estamos en este caso: tenemos el secuente $\Gamma\vdash A$, y creemos que hay un modelo (conjunto de valores) que hace cierto a $\Gamma$ -gamma- pero no a $A$. Pues sólo tenemos que encontrarlo para demostrar que el secuente es inválido. A ese modelo se le llama contramodelo, y se puede encontrar de muchas formas. Creo que la más sencilla es hacerlo a ojo: ir probando diferentes valores que creamos que pueden ser contramodelo, hasta encontrar uno.

Por ejemplo, $\neg P\Rightarrow\neg Q,\ \neg Q\vdash\neg P\vee Q$ es inválido ($\nvDash$), porque cuando $P$ es cierto y $Q$ es falso, lo de la izquierda (antecedente) es cierto pero lo de la derecha (consecuente) es falso, así que $\neg P\vee Q$ no es consecuencia de lo de la izquierda.