5.14 Uno ``corto''. $A\Longleftrightarrow B\vdash(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)$

Parece fácil: si dos expresiones son equivalentes, es porque son las dos ciertas, o son las dos falsas. He podido demostrar la validez de $A\Longleftrightarrow B\vdash(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)$ así:

$$\begin{fitch} \par (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)... ...e (\neg A \wedge \neg B) & E$\vee$\ 10,15,23 \par \end{fitch}$$

Lo primero: no podemos poner $A\Longleftrightarrow B$ porque no tenemos reglas para el $\Longleftrightarrow$. Como casi no se usa, cuando sale un $\Longleftrightarrow$ se permite cambiarlo por $(A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow A)$, que es lo mismo.

Bueno, esto es lo único que se me ha ocurrido... Te dejo como ejercicio el buscar una forma más corta (si es que la hay). Lo que yo he hecho es dejar escrito que $A\vee\neg A$ es cierto (este ejercicio ya salió, aquí he repetido los mismos pasos). Una vez sé que se cumple $A\vee\neg A$, veo que tanto el caso $A$ como el caso $\neg A$ llevan a la misma fórmula, que es la solución.