5.12 Uno interesante. $P\vee Q,\ \neg P\vdash Q$

Otro que también parece fácil: $P\vee Q,\ \neg P\vdash Q$. A ver:

$$\begin{fitch} \par P \vee Q \\ \par \neg P \\ \par \fh P & ... ...par \fa Q & IT 9 \\ \par Q & E$\vee$\ 1,8,10 \par \end{fitch}$$

Es muy sencillo de entender por cualquiera: se cumple $P\vee Q$, pero $P$ es falso, así que el cierto es $Q$.

Se puede hacer de varias formas, pero en algún momento tendrás que usar la eliminación de la disyunción para hacer algo con el $P\vee Q$. Vamos a intentar probar que tanto $P$ como $Q$ llevan al mismo sitio, que será nuestra fórmula objetivo $Q$ (ya que se puede, vamos directamente a por $Q$).

Abrimos la subdemostración suponiendo que $P$, y tenemos que ver que $Q$. No es muy difícil porque tenemos el $\neg P$ en la línea 2; eso ayuda a contradecir lo que queramos. Como lo que buscamos es $Q$, suponemos $\neg Q$ y por reducción al absurdo obtenemos $\neg\neg Q$, que es $Q$.

El otro camino, cuando se supone que $Q$ es cierto, lleva directamente a $Q$.

Por lo tanto, ambos caminos van a $Q$ y por la eliminación de la disyunción demostramos que $Q$ es cierto siempre.