4.8 Introducción de la negación

Ésta es muy bonita e interesante:

$$\begin{fitch*} \par m & \fh A & H \\ \par n & \fa B \\ \par... ... \par \hline \par & \neg A & I$\neg$\ m,n,p \par \end{fitch*}$$

Si al suponer que $A$, has llegado a la conclusión de que son ciertas $B$ y $\neg B$ a la vez, no estás perdido, ya que acabas de descubrir una cosa cierta: que no es posible que $A$ sea cierto, o sea, que $\neg A$ es cierto.

Por ejemplo, confieso que si uso Windows, no aprovecho el tiempo que estoy con el ordenador. Desde hace años sí que lo aprovecho, por lo tanto la conclusión es que no uso Windows. Para llegar a esa conclusión, el camino que habrías seguido (puede que sin pensarlo) es precisamente el que pide esta regla: supongamos que sí que uso Windows, en ese caso no aprovecharía mi ordenador. Pero digo que sí que lo aprovecho, así que esa suposición tiene que ser equivocada.

A este procedimiento se le llama reducción al absurdo (reductio ad absurdum): suponer una cosa para llegar a una contradicción y poder afirmar que lo que se ha supuesto es falso. Va muy bien si empiezas suponiendo lo contrario de lo que quieres demostrar: si llegas a una contradicción ya está casi todo hecho.

Tengo que avisar de que éste es un abuso de notación: resulta que para que cuadren los teoremas de la lógica, toda subdemostración ha de tener una conclusión (no dos); y en esta hipótesis que sale en la regla de arriba, no queda claro cuál es la conclusión (si $B$ o $\neg B$). La forma correcta de escribirlo sería usar la introducción de la conjunción para decir que $B\wedge\neg B$, y ésta es la conclusión que nos hace ver que la hipótesis inicial era errónea. Mis profesores se ahorraban esta línea.