5.14 Un ``curt''. $A\Longleftrightarrow B\vdash(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)$

Sembla fàcil: si dues expressions són equivalents, és perquè són ambdues certes, o ambdues falses. He pogut demostrar la validesa de $A\Longleftrightarrow B\vdash(A\wedge B)\vee(\neg A\wedge\neg B)$ així:

$$\begin{fitch} \par (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)... ...e (\neg A \wedge \neg B) & E$\vee$\ 10,15,23 \par \end{fitch}$$

Primer: no va bé escriure $A\Longleftrightarrow B$ perquè no tenim regles per al $\Longleftrightarrow$. Com que gairebé no s'usa, quan surt un $\Longleftrightarrow$ es permet canviar-lo per $(A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow A)$, que és el mateix.

Bé, això és l'únic que se m'ha acudit... Et deixo com a exercici el buscar una manera més curta (si és que n'hi ha). El que jo he fet és deixar escrit que $A\vee\neg A$ és cert (aquest exercici ja ha sortit, aquí he repetit els mateixos passos). Un cop sé que es compleix $A\vee\neg A$, veig que tant el cas $A$ com el cas $\neg A$ porten a la mateixa fórmula, que és la solució.