5.3 Començant a suposar coses. $P\Rightarrow Q,\ Q\Rightarrow R\vdash P\Rightarrow Q\wedge R$

Aquest, $P\Rightarrow Q,\ Q\Rightarrow R\vdash P\Rightarrow Q\wedge R$, és més interessant:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow Q \\ \par Q \Rightarrow R \... ... \Rightarrow Q \wedge R & I$\Rightarrow$\ 3,6 \par \end{fitch}$$

Fixa't en els següents detalls:

• No ens donen cap informació sobre què passa ara (ni han donat la fórmula $P$, ni $Q\wedge R$, etc.). Només ens diuen coses com que si passés $P$, llavors també passaria $Q$.
• De la mateixa forma, el que hem de demostrar no és que ara mateix passa alguna cosa, sinó que si passa $P$, llavors $Q$ i $R$ són certes.
• $P\Rightarrow Q\wedge R$ és una implicació (una cosa implica una altra), perquè l'operador $\Rightarrow$ té menys prioritat que el $\wedge$. És un error greu interpretar aquesta fórmula com $(P\Rightarrow Q)\wedge R$.

Ja que la fórmula que volem és una implicació ( $P\Rightarrow Q\wedge R$), haurem d'usar la introducció de la implicació, però aquesta regla requereix tenir una subdemostració (consulta la seva definició).

No és gens complicat entendre per què: $P\Rightarrow Q\wedge R$ diu que si passa $P$, llavors passa $Q\wedge R$, així que el primer que caldrà fer serà suposar que sí que passa $P$. Llavors haurem de trobar que, en aquest cas en què $P$ és cert, també ho és $Q\wedge R$. Quan ho aconseguim, apliquem la regla, i ho deixem ben escrit: $P\Rightarrow Q\wedge R$.

Per això a la línia 3 es fa una hipòtesi (justificada amb la $H$ a la dreta): suposem que $P$ és cert. Ara comencem una subdemostració, on podem usar les veritats que hi ha escrites a la demostració pare (línies 1 i 2 en aquest cas), i també podem usar $P$ com si fos veritat.

Hem fet aquesta hipòtesi amb l'objectiu de saber que $Q\wedge R$, per tant ho deduïm igual que als exemples anteriors. Fixa't que usem veritats de dins i de fora de la subdemostració, i que, mentre no l'acabem, s'ha de posar aquella ratlla vertical a l'esquerra.

A la línia 6 ja tenim el $Q\wedge R$, que és el que volíem. Usant la regla de introducció de la implicació, podem sortir d'aquesta subdemostració dient que si la hipòtesi és certa, llavors tot allò que hem deduït a partir d'ella també. Es deixa de posar la ratlleta vertical, perquè $P\Rightarrow Q\wedge R$ és cert sempre (no depèn de si $P$ és veritat o no). La justificació usada, $I\Rightarrow\ 3,6$, diu que 3 és la línia on hem fet la suposició, i 6 la línia on hem descobert quelcom interessant que passa en fer aquesta suposició.

$P\Rightarrow Q\wedge R$ és el que volíem, per tant ja hem acabat. I acabem de la mateixa forma que sempre, perquè estem fora de tota subdemostració.