5.1 Un molt senzill. $P,\ P\Rightarrow Q\vdash P\wedge Q$

La solució a $P,\ P\Rightarrow Q\vdash P\wedge Q$ és:

$$\begin{fitch} \par P \\ \par P \Rightarrow Q \\ \par Q & E$... ...ow$\ 2,1 \\ \par P \wedge Q & I$\wedge$\ 1,3 \par \end{fitch}$$

Aquí no hem de pensar molt, només cal usar bé les regles i les seves justificacions.

El primer és entendre el que ens han dit: diuen que ara passen dues coses, la primera és que $P$ i la segona és que $P\Rightarrow Q$ (són les dues fórmules que hi ha a l'esquerra del $\vdash$). Aquestes dues coses les hem d'apuntar, una per línia, perquè en aquesta demostració seran sempre certes (ens agradi o no).

L'objectiu d'aquesta demostració és saber que $P\wedge Q$ també és cert, perquè ens han contat que quan $P$ i $P\Rightarrow Q$ són certs, llavors $P\wedge Q$ també, i volem comprovar si això és veritat. Al final ho hem aconseguit, perquè a l'última línia hi surt escrit el $P\wedge Q$.

I ara com seguim? Ens hem de fixar en on volem arribar. Si $P\wedge Q$ ha de ser cert, llavors tant $P$ com $Q$ ho hauran de ser; doncs preocupem-nos primer per demostrar que ho són.

$P$ és cert, perquè ens ho han dit, i ho tenim apuntat a la línia 1.

Però no ens han dit que $Q$ ho sigui. Què ens han dit sobre $Q$? Buscant-la a les línies 1 i 2, l'únic que coneixem és que $Q$ és certa quan passa $P$ (ho diu a la 2). I com $P$ és certa, podem usar una de les regles per deduir $Q$ a partir del $P\Rightarrow Q$ i de $P$. Fixa't en què és el més important que ha passat en canviar de $P\Rightarrow Q$ a $Q$: s'ha deixat d'usar el símbol de la implicació; així que la regla que necessitem s'anomena eliminació de la implicació.

Per utilitzar aquesta regla, mirem la seva definició, i veiem que hem de posar en una nova línia la $Q$, i com a justificació s'ha d'escriure $E\Rightarrow\ 2,1$. La $E$ ve d'eliminació, el $\Rightarrow$ és per implicació, el primer número és el de la línia que conté implicació ( $P\Rightarrow Q$), i el segon número és el de la línia que conté la veritat coneguda ($P$). És incorrecte posar-los al revés ( $E\Rightarrow\ 1,2$), perquè a la definició de la regla diu que la línia que conté la implicació ha de ser citada en primer lloc.

Ja hem aplicat la regla, i ja sabem tres coses que són certes: que $P$, que $P\Rightarrow Q$, i que $Q$. Totes són igual de certes. Ara estem més a prop de l'objectiu, $P\wedge Q$, perquè ja sabem que $P$ i $Q$ són certes, així que $P\wedge Q$ també ha de ser-ho (és obvi). A la fórmula que busquem hi ha un signe de conjunció ($\wedge$) que no tenim, per tant cal usar la introducció de la conjunció per afirmar que $P\wedge Q$ és cert perquè $P$ ho és i $Q$ també. Com a justificació posem $I\wedge\ 1,3$ (la línia on diu que $P$, i on diu que $Q$). No val posar $I\wedge\ 3,1$, això seria per assegurar que $Q\wedge P$, que no és el que ens demanen demostrar.

Llavors ja sabem que 4 coses són certes: $P$, $P\Rightarrow Q$, $Q$, i $P\wedge Q$. Podríem continuar descobrint encara més coses certes, però és que ja hem acabat, perquè ens demanaven demostrar que $P\wedge Q$ és cert i ja ho hem aconseguit (a la línia 4). Per tant, aquesta serà l'última línia, i no s'ha d'escriure res més.

Ah, un exemple d'això amb paraules: ``ara és estiu, i a l'estiu fa calor. Per això ara és estiu i fa calor''.