5.10 Suponer lo contrario. $\vdash\neg(P\wedge\neg P)$

Otro sencillo, $\vdash\neg(P\wedge\neg P)$. Se hace así:

$$\begin{fitch} \par \fh P \wedge \neg P & H \\ \par \fa P & E... ...\ \par \neg (P \wedge \neg P) & I$\neg$\ 1,2 \par \end{fitch}$$

Todos sabemos que no pueden pasar dos cosas contrarias a la vez, pero ¿cómo lo demostramos? Hay que usar la reducción al absurdo:

Supongamos que sí que pasa $P\wedge\neg P$. Entonces pasa $P$ y pasa $\neg P$, las dos a la vez, lo que es una contradicción. Por tanto, la suposición que hemos hecho no puede ser cierta; o sea que es falsa. Así se demuestra que $\neg(P\wedge\neg P)$.

Cuando veas algo tan claro y obvio como $\neg(P\wedge\neg P)$, entonces lo contrario será claramente falso y absurdo. Por lo tanto, no te costará mucho demostrar que no se aguanta y que se contradice él solo. Una vez hecho esto, podemos asegurar que la fórmula original es cierta ya que su contrario es falso.