5.6 Con subdemostraciones. $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)\vdash Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$

Se complican las cosas. La solución de $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)\vdash Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow (Q \Rightarrow R) \\ \par \... ...arrow (P \Rightarrow R) & I$\Rightarrow$\ 2,6 \par \end{fitch}$$

Lo primero: aquí sólo usaremos las dos reglas que ayudan a poner y quitar implicaciones, porque es el único operador que tenemos.

Queremos llegar a $Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$, por lo que tendremos que hacer una hipótesis $Q$ dentro de la cual habrá que demostrar que $P\Rightarrow R$. Hacemos eso para simplificar el problema: abrimos la subdemostración en la línea 2. No la cerraremos hasta que no se llegue a saber que $P\Rightarrow R$ es cierto.

Ahora el problema es algo más fácil. Necesitamos comprobar que $P\Rightarrow R$, y tenemos dos líneas con dos verdades: la primera dice que $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$, y la segunda pone que $Q$.

¿Cómo podemos conseguir el $P\Rightarrow R$? Pues como siempre: hay que suponer que $P$, y conseguir ver que $R$, de alguna manera. Aunque no parezca fácil, es lo que hay hacer, porque la introducción de la implicación va así. Por lo tanto, vamos a abrir otra hipótesis, ahora suponiendo que $P$, y a ver si llegamos a $R$. Ésta será una hipótesis dentro de una hipótesis, pero no hay ningún problema en hacer eso.

Después de escribir la línea 3, y, metidos dentro de una subsubdemostración, tenemos a nuestra disposición que $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$, que $Q$, y que $P$. Tenemos que probar que $R$. Ya no parece muy difícil, ¿no? Si sabemos que $P$, podemos usar la eliminación de la implicación en la línea 1, y así conseguiremos la fórmula cierta $Q\Rightarrow R$. Como también es cierto $Q$ (línea 2), podemos volver a usar la misma regla para saber que $R$.

Hemos visto que el suponer $P$ nos ha llevado a la conclusión de que $R$, así que podemos dejar escrito que $P\Rightarrow R$, que es lo que andábamos buscando. Ahora ya hemos salido de la subsubdemostración, y sólo estamos metidos dentro de la suposición de que $Q$ es cierto. Como vemos que esta suposición implica la certeza de la fórmula $P\Rightarrow R$, podemos salir de esta subdemostración concluyendo que $Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$.

$Q\Rightarrow(P\Rightarrow R)$ es precisamente lo que había que demostrar, así que ya se ha acabado.