3.4 Notación

Hay varias formas de escribir los esquemas de deducción natural. Yo usaré el estilo Fitch, porque es el que me enseñaron, es fácil de entender, y ocupa poco espacio. Es algo así:

$$\begin{fitch} \par P \Rightarrow Q \\ \par Q \Rightarrow R \... ... \Rightarrow Q \wedge R & I$\Rightarrow$\ 3,6 \par \end{fitch}$$

Con esto se ha demostrado la validez de $P\Rightarrow Q,\ Q\Rightarrow R\vdash P\Rightarrow Q\wedge R$.

El esquema se va haciendo línea por línea, de arriba a abajo. Los números de la izquierda indican el número de línea, y siempre van en orden.

Las primeras líneas contienen cada una de las fórmulas que hay en la parte izquierda del secuente. En este caso son dos: $P\Rightarrow Q$ y $Q\Rightarrow R$. A partir de éstas tenemos que llegar a $P\Rightarrow Q\wedge R$.

En cada línea apuntamos qué cosa hemos descubierto que es cierta, y a la derecha explicamos de qué forma la hemos encontrado. Esos símbolos de la derecha (las $E$ e $I$) son las siglas que identifican a cada una de las 9 reglas. Por ejemplo, aquí salen la eliminación de la implicación ($E\Rightarrow$), la introducción de la conjunción ($I\wedge$), y la introducción de la implicación ($I\Rightarrow$). Los numeritos que les acompañan dan información sobre de dónde se han sacado las fórmulas necesarias para aplicar la regla. Son números de línea, o sea, que para aplicar una regla hay que basarse en lo que ya hemos escrito.

Por último, esa raya vertical que va de la línea 3 a la 6 es una hipótesis (por eso se ha puesto una $H$ a la derecha). Todo lo que hay ahí dentro no es cierto siempre, sino sólo cuando se cumple $P$ (el encabezamiento de la hipótesis, en la línea 3). Por eso, todo lo que hagamos dentro de la hipótesis no lo podemos usar fuera, porque no siempre se cumple.

El procedimiento acaba cuando descubrimos que es cierto lo de la derecha del secuente, en este caso $P\Rightarrow Q\wedge R$ (sale en la última línea).