Lógica de segundo orden

LP2 (lógica de predicados de orden 2) es como LP1 pero puede cuantificar proposiciones además de variables. Es más expresiva, pero no tiene la propiedad de completitud (esto ha espantado a los lógicos y ha hecho que usen más la de primer orden). George Boolos⁵ (1940-1996) vio que esta incompletitud sólo pasa en la lógica de segundo orden poliádica (predicados de $n$ lugares, con $n>1$), pero la monádica (con predicados de un solo lugar) es no sólo completa y consistente, sino también decidible. Incluso es mejor que la de primer orden poliádica. [WP]

La de segundo orden surgió de la presentación inicial de la lógica de predicados de Frege (la primera). Ya distinguía dos tipos de cuantificaciones diferentes (de variables o de predicados) pero no los clasificaba como lógicas distintas. Cuando los lógicos descubrieron la paradoja de Russell, vieron que había algo que no cuadraba, y la lógica de predicados se separó en dos: LP2 y LP1.

Esta paradoja, descubierta por Bertrand Russell en 1901, proponía considerar el conjunto de ``todos los conjuntos que no se incluyen a ellos mismos como miembros'':

$M=\{ A\mid A\notin A\}$

Se contiene $M$ a sí mismo? Si se contuviese ($M\in M$), no sería un miembro de $M$ según su definición. Pero, si no se contiene ($M\notin M$), entonces ha de estar incluido en $M$, otra vez debido a la definición de $M$. Por tanto, tanto $M\in M$ como $M\notin M$ llevan a una contradicción.⁶

Russell escribió a Frege el 1902, justo cuando Frege iba a empezar a escribir el segundo volumen del Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas de la aritmética). Y Gottlob Frege, que había basado toda su obra en la suposición de que la intensión y la extensión de un conjunto siempre coincidían, se deprimió mucho y pasó una época de crisis (1904-1908) sin ganas de hacer lógica.

La paradoja motivó que se hiciera una lógica de primer orden, donde conjuntos y propiedades no se pudiesen cuantificar.

Aunque cuando hacemos lógica normalmente pensamos en la de primer orden, los humanos también usamos la de segundo sin darnos cuenta. Por ejemplo, no es nada del otro mundo preguntar ``¿En qué se parecen el Boole y el Boolos?'', y con esto estoy preguntando que cuál es la propiedad (de todas las que hay) que tanto uno como el otro cumplen.