Razonamiento sin formalización

Por otra parte, tenemos muchos ejemplos de lógicos y matemáticos que han intentado basar todo el pensamiento en números, sobre todo en los naturales.

Los pitagóricos creían en las mónadas, y creían que el universo estaba -literalmente- construido a base de números. Esto lo sabemos gracias al libro Vidas y opiniones de filósofos eminentes, de Diógenes Laertius (siglo 3, 4 ó 5 dC). [WP]

Y Leibniz también pensaba en combinar conceptos mediante la multiplicación de números primos. Dicen ² que:

With his characteristic blend of genius and insanity, Leibniz had conceived of a project in which the simple constituents of concepts would be represented by prime numbers and their composition by multiplication. From the Chinese number theorem [sic] (and certain assumptions about the nature of truth) he inferred that -given this "perfect language"- could be resolved by appeal to the algorithm of division.

Quizás Gödel también se inspiró en esta idea cuando diseñó su mecanismo de codificación, ya que también usa el teorema chino de los restos en su teorema de incompletitud de 1931, y aprovecha la idea de elevar un número primo a un exponente que representa un concepto básico.

Todo esto está muy bien; sería muy cómodo trabajar con elementos de $\mathbb{N}$, pero el problema es la formalización: la gödelización es demasiado complicada para ser hecha por los humanos, y además, nos encontramos con los conjuntos no enumerables, como $\mathbb{R}$, $\wp(\Sigma^{*})$ (con $\Sigma$ cualquier alfabeto), o las clases de funciones (como $F_{\mathbb{N}}=\{ f\mid\textrm{$f$ es una función $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}\}$); todos conjuntos interesantes pero que no tienen biyección con $\mathbb{N}$. [Loz05, tema 5]

Por tanto, aunque sumar y multiplicar sea muy fácil, no usamos mucho este sistema debido a la formalización.