Lògica de segon ordre

LP2 (lògica de predicats d'ordre 2) és com LP1 però pot quantificar proposicions a més de variables. És més expressiva, però no té la propietat de completesa (això ha espantat els lògics i ha fet que utilitzin més la de primer ordre). George Boolos⁵ (1940-1996) va veure que aquesta incompletesa només passa a la lògica de segon ordre poliàdica (predicats de $n$ llocs, amb $n>1$), però la monàdica (amb predicats d'un lloc) és no només completa i consistent, sinó també decidible. Fins i tot és millor que la de primer ordre poliàdica. [WP]

La de segon ordre va sorgir de la presentació inicial de la lògica de predicats de Frege (la primera). Ja distingia dos tipus de quantificacions diferents (de variables o de predicats) però no ho classificava com lògiques diferents. Quan els lògics van descobrir la paradoxa de Russell, van veure que hi havia alguna cosa que no quadrava, i la lògica de predicats es va separar en dos: LP2 i LP1.

Aquesta paradoxa, descoberta per Bertrand Russell al 1901, proposava considerar el conjunt de ``tots els conjunts que no s'inclouen a ells mateixos com a membres'':

$M=\{ A\mid A\notin A\}$

Es conté $M$ a si mateix? Si es contingués ($M\in M$), no seria un membre de $M$ segons la seva definició. Però, si no es conté ($M\notin M$), llavors ha de ser inclòs en $M$, altre cop degut a la definició de $M$. Per tant, tant $M\in M$ com $M\notin M$ porten a una contradicció.⁶

Russell va escriure a Frege al 1902, just quan Frege anava a començar a escriure el segon volum del Grundgesetze der Arithmetik (Lleis bàsiques de l'aritmètica). I Gottlob Frege, que havia basat tota la seva obra en la suposició de que la intensió i la extensió d'un conjunt sempre coincideixen, es va deprimir molt i va passar una època de crisi (1904-1908) sense ganes de fer lògica.

La paradoxa va motivar que es fes una lògica de primer ordre, on conjunts i propietats no es poguessin quantificar.

Encara que quan fem lògica acostumem a pensar sempre en la de primer ordre, els humans també utilitzem la de segon sense adonar-nos. Per exemple, no és res de l'altre món preguntar ``En què s'assemblen el Boole i el Boolos?'', i amb això estic preguntant que quina és la propietat (de totes les que hi ha) que tant un com l'altre compleixen.