Raonament sense formalització

D'altra banda, tenim bastants exemples de lògics i matemàtics que han intentat basar tot el pensament en nombres, sobretot en els naturals.

Els pitagòrics creien en els mònades, i creien que l'univers estava -literalment- construït a base de nombres. Això ho sabem gràcies al llibre Vides i opinions de filòsofs eminents, de Diògenes Laertius (segle 3, 4 ó 5 dC). [WP]

I Leibniz també pensava en combinar conceptes mitjançant la multiplicació de nombres primers. Diuen ² que:

With his characteristic blend of genius and insanity, Leibniz had conceived of a project in which the simple constituents of concepts would be represented by prime numbers and their composition by multiplication. From the Chinese number theorem [sic] (and certain assumptions about the nature of truth) he inferred that -given this "perfect language"- could be resolved by appeal to the algorithm of division.

Potser Gödel també es va inspirar en aquesta idea quan va dissenyar el seu mecanisme de codificació, ja que també usa el teorema xinès de les restes al seu teorema d'incompletesa de 1931, i aprofita la idea d'elevar un nombre primer a un exponent que representa un concepte bàsic.

Tot això està molt bé; seria molt còmode treballar amb elements de $\mathbb{N}$, però el problema és la formalització: la gödelització és massa complicada per a ser feta pels humans, i a més, ens trobem amb els conjunts no enumerables, com $\mathbb{R}$, $\wp(\Sigma^{*})$ (amb $\Sigma$ qualsevol alfabet), o les classes de funcions (com $F_{\mathbb{N}}=\{ f\mid\textrm{$f$ és una funció $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$}\}$); tots conjunts interessants però que no tenen bijecció amb $\mathbb{N}$. [Loz05, tema 5]

Per tant, encara que sumar i multiplicar sigui molt fàcil, no usem molt aquest sistema degut a la formalització.